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Decifrando a Análise Combinatória

Olá, Pessoal, tudo bem? Aqui é o Professor Thiago Cardoso. Sou professor de Exatas no Portal RA. Hoje, eu gostaria de falar com vocês sobre a Análise Combinatória.

É um assunto que muita gente odeia. Porém, ela traz muita coisa interessante. E, por isso, também é um dos assuntos que mais tem apaixonados no mundo da Matemática. Eu sou um deles.

E, muito provavelmente, o seu examinador também é. Sempre que aparece cobrado em editais, pode ter certeza que a sua prova terá, pelo menos, uma questão sobre esse assunto. Então, é bom estar preparado.

Preparado para ver muita coisa interessante sobre Análise Combinatória?

 

Princípio da Casa dos Pombos

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O Princípio da Casa dos Pombos nos diz que, se você tem n objetos e m gavetas, com n > m, então, pelo menos uma gaveta terá mais de um objeto.

Vejamos alguns exemplos:

  • Se eu tenho 10 camisas para serem guardadas em 8 gavetas, pelo menos uma gaveta guardará mais de uma camisa;
  • Se eu tenho 7 pessoas esperando em 5 filas, pelo menos uma fila terá mais de uma pessoa.

O princípio também vale para múltiplos. Ou seja, se n > 2.m, então, pelo menos uma gaveta terá mais de dois objetos. Se n > 3.m, então, pelo menos uma gaveta terá mais de três objetos. Vejamos:

  • Se eu tenho 20 camisas para serem guardadas em 8 gavetas, pelo menos uma gaveta terá mais de 2 camisas;
  • Se eu tenho 25 empresas e 10 fiscais, pelo menos um fiscal terá que fiscalizar mais de duas empresas.

Agora, vejamos algumas curiosidades:

  • Numa sala de aula, estão matriculados 350 alunos, então, pelo menos 4 deles possuem os mesmos dígitos verificadores do CPF (aqueles dois últimos números);
  • Se cada pessoa tem, no máximo, 200 mil fios de cabelo e o Brasil tem 207 milhões de pessoas, então, existem mais de 1000 pessoas no Brasil com a mesma quantidade de fios de cabelo;

 

 

Princípio Fundamental da Contagem

Esse é o pilar fundamental da Análise Combinatória.

Se o evento A pode ser feito de n formas e o evento B pode ser feito de n formas, então os eventos A e B consecutivamente podem ser feitos m.n formas.

Vejamos:

  • Por que o seu PIN tem 4 números?
    O PIN é um sistema simples de segurança muito usado em contas bancárias e aparelhos de celular. Funciona da seguinte forma. Se você deixar seu dispositivo fora de uso, ele trava e pede o PIN. Se você digitar o PIN errado três vezes, ele desativa.O PIN é formado por 4 números, ou seja, existe 10.10.10.10 = 10000 possibilidades. Como você só tem 3 chutes, é bem difícil acertar o PIN de uma pessoa ao acaso.
  • Qual o número possível de placas para um carro?
    Uma placa de carros tem 3 letras e quatro números. Para cada letra, são 26 possibilidades e, para cada, número são 10 possibilidades.
    26 26 26 10 10 10 10 = 175.760.000

Ou seja, o mundo já tem 1 bilhão de veículos. Dessa forma, se todos os países adotassem o padrão de placas brasileiros, haveria 6 carros no mundo com a mesma placa!

Em Dubai, as placas podem conter de 1 a 5 números e também letras. Quanto menos números possuem as placas mais valiosas elas serão.

Por exemplo, uma placa com uma letra e um número (D5) foi negociada por R$28 milhões.

Acontece que só existe 26.5 = 130 placas dessa forma. Sendo assim, essas placas são muito mais exclusivas do que as placas com mais dígitos, não é verdade?

  • É possível roubar meus Bitcoin?
    O Bitcoin é uma moeda digital que ficou bastante conhecida por suas propriedades criptográficas e isso está bem relacionado à Análise Combinatória.Uma chave privada em Bitcoin é formada por uma combinação de 256 bits. Um bit é um número binário, ou seja, pode ser 0 ou 1.Como só existem duas possibilidades para o bit, o total de chaves privadas no Bitcoin é: 2.2.2…2.2 (256 vezes) = 2^256 (2 elevado a 256) que é aproximadamente 6.10^76 chaves. A título de comparação, o número de átomos no Universo visível é 10^80.Vejamos. Se você tem um supercomputador que faz 1 bilhão de tentativas por segundo. Considerando que 1 ano tem 31.536.000 segundos, você levaria 2.10^60 anos para testar todas as combinações. Considerando que o Universo tem 13,3 bilhões de anos, você precisaria de 1,54.10^50 idades do Universo para testar todas as possibilidades. Ou seja, 1 seguido de 50 zeros. Vamos ter uma ideia do tamanho desse número?153.846.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 idades do UniversoÉ um tempo bem grande, não é? Essas são as maravilhas da Análise Combinatória.

Números Fatoriais

Um dos problemas mais cobrados da Análise Combinatória, os números fatoriais respondem à pergunta. De quantas formas podemos permutar as letras de uma palavra?

Por exemplo, a palavra ANO tem 6 anagramas: OAN, ONA, NOA, NAO, ANO, AON.

O número de anagramas de uma palavra sem nenhuma letra repetida é n!

O fatorial é igual ao produto de todos os números inteiros anteriores. Ou seja, n! = n.(n-1).(n-2)…2.1

Por exemplo, o número de anagramas da palavra ANO é 3! = 3.2.1 = 6.

O número de anagramas da palavra AMOR é 4! = 4.3.2.1 = 24.

O interessante dos fatoriais é que eles crescem muito rapidamente. Vejamos algumas curiosidades:

  • 10! segundos é exatamente igual a 6 semanas.
    10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 pode ser escrito como 10! = (10.9.8.5).7.6.(4.3.2.1) = 3600.7.6.24 = 6.7.24.3600
    Agora note que 3600 segundos é igual a 1 hora. 24 horas é igual a um dia. 7 dias é exatamente igual a uma semana. Por isso, 10! segundos é igual a exatamente 6 semanas.
  • Se você embaralhar um jogo de cartas muito bem, você chegará a um jogo que nunca foi jogado anteriormente.
    Olha só, que interessante. Um baralho tem 52 cartas. O número de formas de arrumá-las é 52!
    52! = 52.51.50.49…3.2.1 que é aproximadamente igual a 8.10^67Se o mundo tem 7 bilhões de pessoas e todas as pessoas jogassem 1 milhão de partidas por dia e que 1 ano tem 365 dias, teríamos que seriam jogados 2,5.10^15 jogos por ano. Dividindo o número de arrumações diferentes do baralho por esse valor, teríamos 3,2.10^42 anos para serem jogados todos os jogos possíveis de baralho. Ou seja:320.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 anos

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Viu como a Análise Combinatória revela alguns assuntos realmente legais?

O que você achou desse artigo? Essa é a metodologia que eu gosto de aplicar nos meus cursos de Matemática. Trazer a Matemática para o seu dia-a-dia e tornar a matéria mais palpável e interessante.

Gostaria de deixar aqui como sugestão os cursos que eu tenho publicados atualmente no Portal RA:

Cursos em PDF:

Cursos em Vídeo: eu estou presente em todos os cursos em vídeo no portal que incluem as matérias da Matemática. Atualmente, temos o curso para a Receita Federal: https://www.ricardoalexandre.com.br/cursos-para-receita-federal-2018/

Vamos juntos ao topo da montanha!

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